1.求方程+y''-6y'+8y=e^x+e^(2x)+的通解
😳问题 : 求微分方程 y''-6y'+8y=e^x+e^(2x)的通解
👉微分方程
微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度
👉微分方程的例子
『例子一』 y'=x
『例子二』 y'=sinx
『例子三』 y''-3y'+2y= sinx
👉回答
微分方程 y''-6y'+8y=e^x+e^(2x)
这是一个 2阶非齐次方程
特征函数 r^2 -6r +8 =0
r^2 -6r=8=0
(r-2)(r-4)=0
得出 r=2 或 4
令
yg = Ae^(2x) +Be^(4x)
yp= Cxe^(2x) + De^x
yp'= C(1+2x)e^(2x) + De^x
yp''= C[2(1+2x)+2]e^(2x) + De^x = C(4+4x)e^(2x) + De^x
yp''-6yp'+8yp=e^x+e^(2x)
[C(4+4x)e^(2x) +De^x]-6[C(1+2x)e^(2x) + De^x]+8[Cxe^(2x) + De^x]
=e^x+e^(2x)
得出
C= -1/2 and D=1/3
通解
y=yg+yp =Ae^(2x) +Be^(4x) -(1/2)xe^(2x) + (1/3)e^x
😄: 通解: y=Ae^(2x) +Be^(4x) -(1/2)xe^(2x) + (1/3)e^x
