Question

奇函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上为增函数.则是否存在t,.…………

奇函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上为增函数.则是否存在t,使f(2t^2-4)+f(4m-2t)＞f(0)对于m∈[0,1]均成立?若存在,求出t的范围;若不存在,请说理由.…………

Answer 1

首先注意到题设给出的是在闭区间此函数递增，那么表示f(x)在x=0处有定义，又f(x)是奇函数，则f(0)=-f(-0)[这是奇函数的定义]，那么f(0)=0,则f(2t^2-4)+f(4m-2t)＞f(0)化简之后为f(2t^2-4)＞－f(4m-2t)＝f(2t－4m)，因为此函数是奇函数，又在闭区间是递增，那么此函数在整个R域变增，证明如下：

对于0<=t1<t2<+∞,有0>=-t1>-t2>-∞且f(t1)<f(t2)因为函数是奇函数，所以f(-t1)=-f(t1),f(-t2)=-f(t2),而f(t1)<f(t2)，因此-f(t1)>-f(t2),故(-t1)=->f(-t2),因此函数在(-∞,0]亦递增（因为版面排版，所以建议你将我所写的列入草稿上看，会更清晰明了）。

之前已经将不等式化简为：f(2t^2-4)＞f(2t－4m)，由于函数递增，即只需要2t^2-4＞2t－4m，整理得m>-1/2*t^2+1/2*t+1;要使此式对于m∈[0,1]恒成立，只需要-1/2*t^2+1/2*t+9/8<0恒成立即可，其中等号是不能加入的，仔细考虑即知，这样就将原来复杂无处着手的抽象函数化简了，成为一个简单的不等式，角此不等式得t的取值范围为：t>2或t<-1。

解答完毕。

Answer 2

f(x)是奇函数
所以f(-a)=-f(a),f(-b)=-f(b)

在[0,+∞)上为增函数
所以a>b>0时，f(a)>f(b)
则当-a<-b<0时,f(-a)-f(-b)=-f(a)+f(b)<0
所以在(-∞,0]上也是增函数

f(x)是奇函数
所以f(0)=0
f(2t^2-4)+f(4m-2t)>f(0)
所以f(2t^2-4)+f(4m-2t)>0
f(2t^2-4)>-f(4m-2t)=f[-(4m-2t)]
f(x)是增函数
所以2t^2-4>-(4m-2t)
2t^2-2t+4m-4>0
2(t-1/2)^2+4m-9/2>0
2(t-1/2)^2>9/2-4m
0<=m<=1
1/2<=9/2-4m<=9/2
所以只要2(t-1/2)^2>9/2即可
(t-1/2)^2>9/4
t-1/2>3/2,t-1/2<-3/2
所以t>2,t<-1

Answer 3

f(x)是奇函数
f(x)=-f(-x),f(0)=0
在[0,+∞)上为增函数,
则在R上是单调增函数

f(2t^2-4)+f(4m-2t)>f(0)=0
f(2t^2-4)>-f(4m-2t)=f(2t-4m)
2t^2-4>2t-4m
对m[0,1]恒成立
4m+2t^2-2t-4>0
设g(m)=4m+2t^2-2t-4
m[0,1]
则有:
g(0)>0
恒成立
2t^2-2t-4>0
t^2-t-2>0
(t+1)(t-2)>0
t<-1,t>2