泰勒公式怎么推导的?
根据导数表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……
于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……
最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
拓展资料：
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式（Taylor's formula）
带Peano余项的Taylor公式（
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)
其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘。）
使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。
Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求等价无穷小，证明不等式，求极限等
假设我们有一个函数 f(x)，并且该函数在某个点 a 处具有 n 阶可导性，即在 a 点的附近存在 n 个连续可导的导数。
我们希望找到一个多项式 P(x) 来近似表示函数 f(x)，使得当 x 接近 a 时，P(x) 和 f(x) 的差异趋近于零。我们可以将 P(x) 表示为：
P(x) = c0 + c1 * (x - a) + c2 * (x - a)^2 + … + cn * (x - a)^n
其中，c0, c1, …, cn 是待定系数，用于确定多项式的形式。
为了确定这些系数的值，我们希望 P(x) 在点 a 处的值和 f(x) 在点 a 处的值相等，并且它们的导数在点 a 处的值也相等。也就是说，我们要满足以下条件：
P(a) = f(a) （函数值相等）
P’(a) = f’(a) （一阶导数相等）
P’‘(a) = f’'(a) （二阶导数相等）
…
P^n(a) = f^n(a) （n 阶导数相等）
将这些条件应用于多项式 P(x)，我们可以依次求解出 c0, c1, …, cn 的值，并将其带入 P(x) 中，得到泰勒公式的表达式。
最终，泰勒公式可以表示为：
f(x) = f(a) + f’(a) * (x - a) + f’'(a)/2! * (x - a)^2 + … + f^n(a)/n! * (x - a)^n
这就是泰勒公式的推导过程和最终的表达形式。通过使用泰勒公式，我们可以使用多项式逼近函数的近似值，并利用这一近似进行数学计算和分析。
