Question

高中数学竞赛的数论问题

怎么证明n个连续整数的乘积一定能被n的阶乘（即n！）整除？

Answer 1

设a为任一整数，则式：
(a+1)(a+2)...(a+n)
=(a+n)!/a!
=n!*[(a+n)!/(a!n!)]
而式中[(a+n)!/(a!n!)]恰为C(a+n,a),也即是从a+n中取出a的组合数，当然为整数。
所以(a+1)(a+2)...(a+n)一定能被n!整除

Answer 2

这可以用组合数的定义来证明,假设m>=n,则m取n的组合数为{m(m-1)(m-2).....}/(n!),花括号内恰好有n项.

Answer 3

高中竞赛？？？？？？？？