Question

怎样证明韦达定理?

最好简单明了,能用多种方法``````````

Answer 1

韦达定理，也称根与系数的关系，在初中阶段学习过一元二次方程的韦达定理，而对于高次韦达定理：

设一元 n 次方程

有 n 个根分别记为 ，于是

与原方程相同. 我们将这个连乘式展开，写出 的系数，也就是原方程的系数 ：

即每个括号 都提取出一个 来相乘；

依次类推：

… …

以上.

Answer 2

由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a
(注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0)
可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a
1. X1﹢X2=(-b+√b^2-4ac)/2a+(-b-√b^2-4ac)/2a
所以X1﹢X2=-b/a
2. X1X2= [(-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[(-b-√b^2-4ac﹚÷2a]
所以X1X2=c/a
(补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2
(扩充)3.X1-X2=(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a
又因为X1.X2的值可以互换，所以则有
X1-X2=±【(-b+√b^2-4ac)/2a-(-b-√b^2-4ac)/2a】
所以X1-X2=±(√b^2-4ac)/a

Answer 3

证明：
当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程
ax^2+bx+c=0(a≠0)
有两个实根，设为x1,x2.
由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取
x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,
则：x1+x2
=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a
=-2b/2a
=-b/a,
x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]
=[(-b)^2-Δ]/4a^2
=4ac/4a^2
=c/a.
综上，x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.

Answer 4

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*∏Xi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，∏是求积。

Answer 5

设x1,x2是方程ax^2+bx+c=0的两根

原方程有x1,x2两个实根,则原方程可以写成a(x-x1)(x-x2)=0的形式,展开后可以得到ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0

和原方程比较可以知道x1+x2=-b/a,x1x2=c/a