Question

设x,y为实数,且x^2+y^2=4则2xy/(x+y-2)的最小值是多少

Answer 1

解：由x^2+y^2=4变形为|x-0|^2+|y-0|^2=2^2很容易联想到以原点为圆心，半径为2的圆的解析式，没错就是它了。（PS：把纯代数问题转化为几何问题直观求解是种很重要的手段，像这种2元2次方程且只一个方程本是要涉及到大学隐函数问题的，将它转为几何问题使得求解变为可能。类似的，像把数轴上点的问题转化为距离或向量也类似）

下面详细求解：有圆的解析式为x^2+y^2=2^2,直线y=-x+2,要求2xy/(x+y-2)的最小值，也就是求圆x^2+y^2=2^2上点（x,y）且|x|=|y|到直线y=-x+2的最小距离，
易得：最小距离为2-√2，最大距离为2+√2，故2xy/(x+y-2)的最小值是2-√2

Answer 2

已知x²+y²=4，求2xy/(x+y-2)的最小值。

解：由于(x-y)²≥0，展开得：2xy≤x²+y²，则有：
x²+y²+2xy≤2(x²+y²)
(x+y)²≤2(x²+y²)=8
得：-2√2≤x+y≤2√2，
所以有：
2xy/(x+y-2)
=(x²+y²+2xy-4)/(x+y-2)
=[(x+y)²-4]/(x+y-2)
=(x+y+2)(x+y-2)/(x+y-2)
=x+y+2≥2-2√2
因此，2xy/(x+y-2)的最小值是2-2√2。