Question

已知关于X的不等式（K2+4K-5）X2+4（1—K）x+3》0对任何实数X都成立，求实数K的取值范围。

答案好像是1《K<19

Answer 1

设f(x)=（K2+4K-5）X2+4（1—K）x+3
1，当二次项的系数k^2+4k-5=0时，函数是一次函数，有f(x)=4(1-k)x+3
由k^2+4k-5=0我们可以解得k=1,k=-5.当k=-5时，不等式变为24x+3>0此时不等式的解集不是R，所以有k不等于-5。当k=1时，不等式变为3>0恒成立，不等式的解集为R。所以k=1可以。
2当二次项系数k^2+4k-5不等于0时，即k不等于1且不等于-5，函数为一元二次函数，其图象是一个抛物线。
由题意关于X的不等式（K2+4K-5）X2+4（1—K）x+3》0对任何实数X都成立，则有抛物线恒在X轴上方。
所以必有k^2+4k-5>0,16(1-k)^2-12(k^2+4k-5)<0
于是我们可以解得1<k<19
综上所述，有1=<k<19.

Answer 2

k^2+4k-5>0
(k+5)(k-1)>0
k∈(-∞,-5)∪(1,+∞)
△>0
4k^2-8k+4-3k^2-12k+15>0
k^2-20k+19>0
(k-19)(k-1)>0
k∈(-∞,1)∪(19,+∞)
又k=1时
3>0恒成立
∴k∈[1,19)