Question

有关分段函数求导的问题

为什么对于分段函数，为什么连续部分直接求导，在间断处要讨论左右极限
如果现在知道了间断点是连续的呢，能不能直接用包含这个间断点的函数表达式用求导公式进行求导呢,请帮帮我，这个地方迷住了，非常感谢~~~~

Answer 1

2011年的《660》选择题第55题就是关于分段点导数问题和导数连续性问题，当时没做明白，于是我查了些书，现在总结一下希望大家看看对不对。
辅导书上都是求各分段上的显然可导的初等函数的导数，(
设分段点为x0
)
然后求x趋近x0时候导函数的极限值，得到俩个极限值，书上说这俩个值就是x0的左右导数，如果相等，则函数在x0处可导（进而说明导函数在x0处连续）！
首先，要明确：
1。x趋于x0时导函数的极限存在，不能说明x0处可导
2。有个用Lagrange定理可以证明的结论，也就是辅导书上解法的理论，就是：当f(x)在x0的领域内连续，在x0的去心邻域内可导，则x趋近x0时候导函数的极限值
等于
x0点的导数值。要注意的是：这个条件只是个充分条件，不能说：若x趋近x0时候导函数的极限不存在时候，则x0不可导。一般情况下，用辅导书上的都满足上述定理的条件，所以可以用此方法而且非常方便！
但是：遇到比较“较真儿，变态”的题时候，题设的条件不能求出x趋近x0时候导函数的极限时（比如题设条件：不满足在x0的领域内连续，在x0的去心邻域内可导，或者不能使用罗比达法则，因而极限无法顺利切出来），千万不能说此点不可导！
所以还是用定义求吧，正如战地老师说的：老老实实少犯错。。。

Answer 2

可以用公式直接求导，但是在真正计算时，f(x)的表达式你能否确定是哪一个？如果不能，往往是因为该函数在此点左右两边的表达式不同引起的，故而分成左右两边讨论就是很自然的事情，这就是左右导数。

Answer 3

间断点是连续的，也不能保证在这一点左右导数相等即可导。
所以不能直接用表达式求导。

Answer 4

间断点左右极限不一样的啊
左右极限不一样，那么极限就不存在，
如果还不清楚，想想他的物理意义，
倒数就是斜率
y=|x|
是个分段函数
它是连续的
在x=0处的斜率是多少？
左极限是-1
右极限是1
x=0处的斜率不能确定
x=0处导数不存在

Answer 5

应该还要看其他的条件吧
我记得用那个间断点的函数表达式除了要求间断点是连续的，还有其他条件..具体我不记得了...很久没用了