Question

f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x^2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f(x)恒成立

求实数t的取值范围

Answer 1

由题目可以知道以下两点，
1.f(x)=x^2 ,则2f(x)=f(x*根号2)
2.函数在定义域内是增函数

故问题等价于当x属于[t,t+2]时 x+t≥√2*x 恒成立
将x+t≥√2*x变形为(√2+1)t≥x
故只需(√2+1)t≥t+2
解得t≥√2

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f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>=0时，f(x)=x^2
x<0时 f(x)=-x^2 画图f(x)在R上单调
x∈[t,t+2],不等式f(x+t)>=2f(x)恒成立
2f(x)=f(根号2x) 所以f(x+t)>=f(根号2x)
就有x+t>=(根号2)x
t>=(根号2)x-x 恒成立必需大于他的最大值
即x=t+2 时 t>=(根号2)(t+2)-(t+2)
解得t>=根号2