Question

0<α<β,已知ax^2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式（a+c-b)x^2+(b-2a)x+a>0的解集。

Answer 1

0<α<β,已知ax^2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式（a+c-b)x^2+(b-2a)x+a>0的解集。

因为(x-a)(x-b)<0的解就是 α<x<β ax^2+bx+c>0 等价于 (x-α)(x-β)<0 即是 x^2 - (α+β)x + αβ < 0 原不等式是ax^2+bx+c>0 所以可以判断 a<0,且 变形 x^2+b/a+c/a<0 与前式比较得 α+β=-b/a αβ=c/a 解得 b=-a(α+β) c=aαβ 代入cx^2+bx+a<0 即是 aαβx^2-a(α+β)x + a < 0 就是 αβx^2-(α+β)x + 1 > 0 分解因式 (αx+1)(βx+1) > 0 ...1) 因为： 1/α>1/β,-1/α<-1/β 所以1)的解为 x>-1/β,或x<-1/α 所以这个问题的解应该是： x>-1/5或x<-1/3