Question

定义在（-1，1）上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))

⑴求证：函数f(x)是奇函数
⑵若当x∈(-1,0)是，有f(x)>0,求证：f(x)在(-1,1)上是减函数
(希望能快点.国庆作业来的。不一定要很详细的答案.给点提示就行了.一点头绪都没有！)

Answer 1

这是完整的答案：

（1）第一问很简单，由于函数相同，定义域也相同，只需要令y=-x，就得到f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x），即为奇函数。
（2）x∈(-1,0)，f(x)>0，根据奇函数性质（关于原点对称），x∈(0,1)，f(x)<0，f（0）=0，设-1≤a<b≤0，f（b）-f（a）=f(b)+f（-a）代入题目中的等式=f（（b-a）/(1-ab)）,由于（b-a）/(1-ab)大于0,所以f（（b-a）/(1-ab)）小于0,得到f（b）-f（a）<0，即递减；同理可以证明0≤a<b≤1时也是递减的，所以f(x)在(-1,1)上是减函数 。

呵呵，还蛮难的，做了半天。

Answer 2

1.要证明函数f(x)是奇函数，即证明f(-x)=-f(x)
对f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)) 其中x,y∈(-1,1)
可令y=-x∈(-1,1)
则f(x)+f(-x)=f((x-x)/(1-x^2))=f(0)
有0∈(-1,1)，所以 f(0)+f(0)=f((0+0)/(1+0))=f(0)
即2f(0)=f(0)，f(0)=0 所以f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x) 所以函数f(x)是奇函数

2.要证明f(x)在(-1,1)是减函数 ，只要证明当x∈(-1,0)，f(x)单调递减（因为它是奇函数嘛，关于原点对称的,一变递减，另外一边也一样）,即证明x越大，f(x)越小就可以了
具体：设x1>x2,x1,x2∈(-1,0)
则f(x1)+f(-x2)=f((x1-x2)/(1-x1x2))=-f((x1-x2)/(x1x2-1））
因为x1>x2,则x1-x2>0,又x1,x2∈(-1,0)，所以x1x2-1<0
即(x1-x2)/(x1x2-1）<0,所以f((x1-x2)/(x1x2-1))>0
-f((x1-x2)/(x1x2-1))<0,即f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2) ... 呵呵 写的很罗嗦 自己再精简咯

Answer 3

想证明f(x)是奇函数，可以证明f(x)+f(-x)=0啊，对这个题很适合。
第二题，证明方法就是设1>x>y>-1.
那么证明f(x)-f(y)是负数就行了。因为f是奇函数，所以，
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f((x-y)/(1-xy))
这个式子的右边，x-y>0;1>x*y>-1,所以(x-y)/(1-xy)是正数。
因为x∈(-1,0)时，有f(x)>0，且f(x)是奇函数，所以f((x-y)/(1-xy))小于零
所以f(x)<f(y)

Answer 4

(1).
令x=y=0
=>
f(0)+f(0)=f(0)
=>
f(0)=0
令y=-x
f(x)+f(-x)=f(0)=0
f(x)为奇函数
(2)
对任意x,y属于（-1，1）,且x<y
我们的目标是找到一个数m
使f(x)+f(m)=f(y)
=>
(x+m)/(1+xm)=y
=>
m = (y-x)/(1-xy)
m - 1 = （x+1)(y-1)/(1-xy)
m + 1 = (1-x)(1+y)/(1-xy)
已知：x+1>0,y-1<0,1-x>0,1+y>0,1-xy>0
所以：
m-1<0
m+1>0
=>
m属于（-1，1）
所以取m=(y-x)/(1-xy)
f(x)+f(m) = f(y)
=>
f(y)-f(x)=f(m)
已知y>x
=>
m=(y-x)/(1-xy)>0
而当x∈(-1,0)时，有f(x)>0
所以由奇函数的性质
f(-m)>0
=>
f(m)<0
所以
f(y)<f(x)
函数为减函数

Answer 5

f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
x,y属于共同定义域（-1，1）
令x=y
2f(x)=f[2x/(1+x^2)]
f(x)=f[2x/(1+x^2)]/2
f(-x)=f[-2x/(1+x^2)]=-f(x)
所以f(x)为奇函数。

2）设-1<x1<x2<0
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f((x1-x2)/(1-x1x2))
-1<x1x2<1 => 1-x1x2>0
x1-x2<0

再证明-1<(x1-x2)/(1-x1x2)<0即可证明f(x1)>f(x2）