Question

初三数学难题 相似三角形 高手进！！！

在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高,AC=20,BC=15.
(1).在AC和BC上分别取E、F（E、F中至少有一点与A或B或C重合），使△DEF和△ABC相似。（写出画法要点及证明）
(2).在AC和BC上分别取E、F（不能与A、B、C重合）使△DEF和△ABC相似。（写出画法要点及证明）

此题无图
要过程，谢谢！

Answer 1

1、 将E取为C，作DF⊥BC并与BC交于F，即Rt△DEF就是Rt△DCF。
证明： ∵AC⊥BC,DF⊥BC
∴AC//DF
∴∠A=∠BDF
∵∠BDC=90°∠ACB=90°
∴∠EDF=∠B
∵△DEF与△ABC都是直角三角形
∴△DEF≌△ABC
或者将F取为C，作DE⊥AC并与AC交于E，即Rt△DEF就是Rt△DEC。
证明同上
(在第一种情形下，图中如取实E，F实为F’，也就是C；取实F，E则应该是E’，也是C。)
2、作DE⊥AC并与AC交于E，作DF⊥BC并与BC交于F，过EF两点作线段EF.
证明： ∵∠ACB=90°∠DEC=90°∠DFC=90°
∴∠EDF=90°
∴□ECFD是一个矩形 EF和CD都是其对角线
∴∠DCE=∠EFD
∴∠A=∠DEF
∵△DEF与△ABC都是直角三角形
∴△DEF≌△ABC

------图显示不出来啊，55555

Answer 2

(1):E、F就取A、C或者B、C两点，这个相当easy证明略

(2)：过D点做DE垂直AC，DF垂直BC

那么

首先：所得△DEF是Rt△ （有一直角相等）

然后：四边形CEDF是矩形，所以，∠DCF=∠DEF（矩形矩形基本定理）
又因为∠DCF=∠A，所以∠DEF=∠A

综上所述 ∠DEF=∠A
∠EDF=∠ACB

两角相等，三角形相似

能给分吗？

Answer 3

将E取为C，作DF⊥BC并与BC交于F，即Rt△DEF就是Rt△DCF。
证明： ∵AC⊥BC,DF⊥BC
∴AC//DF
∴∠A=∠BDF
∵∠BDC=90°∠ACB=90°
∴∠EDF=∠B
∵△DEF与△ABC都是直角三角形
∴△DEF≌△ABC
或者将F取为C，作DE⊥AC并与AC交于E，即Rt△DEF就是Rt△DEC。
证明同上
(在第一种情形下，图中如取实E，F实为F’，也就是C；取实F，E则应该是E’，也是C。)
2、作DE⊥AC并与AC交于E，作DF⊥BC并与BC交于F，过EF两点作线段EF.
证明： ∵∠ACB=90°∠DEC=90°∠DFC=90°
∴∠EDF=90°
∴□ECFD是一个矩形 EF和CD都是其对角线
∴∠DCE=∠EFD
∴∠A=∠DEF
∵△DEF与△ABC都是直角三角形
∴△DEF≌△ABC

Answer 4

根号3：2 四边形BCDE为菱形