Question

若非0函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)+f(b),当x<0时f(x)>1

1)求证 f(x)>0
2)求证 f(x)为减函数
3)当f(4)=1/16时.解不等式f(x-3)*f(5-x~2)≤1/4
急...过程详细点..谢谢..

Answer 1

(1)求证：f(x)>0
既然 对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，则有
f(a + a) = f(a) * f(a)
f(x) = [f(x/2)]^2 ≥ 0 恒成立。
如能进一步证明 对定义域任意x f(x) ≠ 0， 恒成立。则 f(x) > 0 成立。
采用反证法：
假设存在 x0, f(x0) = 0
那么对任意 x，f(x) = f(x - x0)*f(x0) = 0
这与 f(x) 为非0函数矛盾。因此 不存在 x0 ，使得 f(x0) = 0
综上所述：f(x) > 0
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(2)求证:f(x)为减函数
设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)

x1 - x2 < 0 ，而已知 x<0 时, f(x) > 1。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1，恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
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(3)当f(4)=1/16 时，解不等式f(x-3)·f(5-x^2)≤1/4

f(4) = 1/16，所以
f(4) = f(2+2) = f(2)*f(2) = 1/16
根据 f(x) > 0 ，舍去 f(2) = -1/4
f(2) = 1/4

根据 f(a)*f(b) = f(a+b)，则
f(x-3)*f(5-x^2) = f(2 + x - x^2) ≤ 1/4 = f(2)
根据 f(x) 是减函数，则
2 + x - x^2 ≥ 2
x^2 - x ≤ 0
x(x-1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1
参考资料：实际上 ，底数 小于1 的指数型函数 恰好 满足f(x)的各种性质

Answer 2

方法1(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0.
又f(x)是非零函数，所以f(x)>0
(2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a)
当x<0时,有x+a<a,f(x)=f(x+a)/f(a)>1,即f(x+a)>f(a),所以，f(x)为减函数。
(3)f(x-3).f(5-x^2)=f(x-3+5-x^2)=f(-x^2+x+2)
原不等式化为：f(-x^2+x+2)≤1/4，两边平方，[f(-x^2+x+2)]^2≤1/16
f[2(-x^2+x+2)]≤1/16
因f(x)为减函数，f(4)=1/16,则有2(-x^2+x+2)>=4,-x^2+x>=0
解得：0≤x≤1

方法2.因为f(a+b)=f(a)f(b)，令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0，所以等式两同时消去f(0)，得：f(0)=1。
2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2，于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)＝（f(0.5x)）^2>=0。因为是非零函数，所以对于任意x都有f(x)不等于0，所以f（x)>0。
3.设x1<x2，因为对任意的x属于R，恒有f(x)>0，所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2)，分子分母同时约去f(x2），得：f(x1)/f(x2)=f(x1-x2)，因为x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1-x2)>1,所以f(x1)/f(x2)>1，所以f(x)是R上的减函数。