Question

已知f(x)是奇函数，且在（0，正无穷）上是增函数。回答两个问题！

已知f(x)是奇函数，且在（0，正无穷）上是增函数。判断f(x)在（负无穷，0）的单调性，并说明理由；若f(-3)=0,解不等式xf(x)<0

是两个问题，给个详细的过程！谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢谢~~(*^__^*) 嘻嘻……

Answer 1

PSSS:平时做题时，我们默认奇函数在对称区间内同增同减，但本题中是要求证明的

1^设x1,x2∈(0,∞),且x1＜x2,则-∞＜-x2＜-x1＜0
∵f(x)在区间（0，∞）上单调递减，
∴f(x2)-f(x1)＜0
又∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)
∴f(-x1)-f(-x2)=-f(x1)+f(x2)＞0
∴奇函数f(x)在区间(-∞,0)单调递减
进而f(x)在R上为增函数（第2问中会用到）

2^f(-3)=0
∵f(x)是增函数 ，∴-3<x<0时，f(x)>f(-3)=0；x<-3时，f(x)<f(-3)=0
1.当x<0, 要满足xf(x)<0 须f(x)>0 ，此时-3<x<0；

2.当x>0，f(3)=-f(-3)=0
0<x<3, 则f(x)<f(3)=0 ，即f(x)<0，此时满足xf(x)<0
x>3,则f(x)>f(3)=0，即f(x)>0,时xf(x)>0不符合，舍去

综上所述：x∈(-3,0)∪(0,3)

Answer 2

设x1，x2是f（x）在（负无穷，0）的两个自变量的值，且x1<x2
因为 x1<0 x2<0 所以-x1>0 -x2>0 -x1>-x2
又因为函数在（0，正无穷）上是增函数
所以f(-x1)>f(-x2)
又因f(x)是奇函数
所以-f(x1)>-f(x2) f(x1)<f(x2)
所以f(x)在（负无穷，0）上是增函数

f(-3)=0,
f(x)是增函数
所以-3<x<0,则f(x)>f(-3)=0
x<-3,则f(x)<f(-3)=0
所以若x<0,
xf(x)<0
则两边除x<0
所以f(x)>0
所以-3<x<0
f(3)=-f(-3)=0
增函数，所以x>0时
0<x<3, 则f(x)<f(3)=0
x>3,则f(x)>f(3)=0
所以若x>0,
xf(x)<0
则两边除x>0
所以f(x)<0
所以0<x<3

综上
-3<x<0,0<x<3

Answer 3

（1）由于奇函数关于原点对称，那么f(x)在（0，正无穷）与（负无穷，0）的单调性一致。证明：
f(x+⊿x)>f(x)(x>0)
f(-x-⊿x)=-f(x+⊿x)<-f(x)=f(-x)
即：f(-x)>f(-x-⊿x),(⊿x>0)

（2）若f(-3)=0,解不等式xf(x)<0 ，f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0

当x=0时，不等式不成立
当x<0时，f(x)>0,即f(x)>f(-3),所以0>x>-3
当x>0时，f(x)<0=f(-3)=f(3),所以0<x<3

求得：（-3,0）并（0,3）

Answer 4

在（0，正无穷）上是增函数
所以若0<a<b
则f(a)-f(b)<0

所以当-b<-a<0时
f(-b)-f(-a)由奇函数=-f(b)+f(a)=f(a)-f(b)<0
所以x<0也是增函数

f(-3)=0,
f(x)是增函数
所以-3<x<0,则f(x)>f(-3)=0
x<-3,则f(x)<f(-3)=0
所以若x<0,
xf(x)<0
则两边除x<0
所以f(x)>0
所以-3<x<0
f(3)=-f(-3)=0
增函数，所以x>0时
0<x<3, 则f(x)<f(3)=0
x>3,则f(x)>f(3)=0
所以若x>0,
xf(x)<0
则两边除x>0
所以f(x)<0
所以0<x<3

综上
-3<x<0,0<x<3

Answer 5

1. 增函数。
奇函数在对称区间内同增同减。这是结论，用图像描述最快，也可以证明。
2. f(-3)=0,f(0)=0
f(x)递增，这是不合理的。