Question

一道高中数学题，急需！！！！

如图，在四边形ABCD中,∠B=∠D=90,∠A=60,AB=4,AD=5,求AC的长和BC/CD的值。
http://dl.zhishi.sina.com.cn/upload//25/96/13/1169259613.30786534.jpg

Answer 1

您好!
我想问一下
你高中做这道题是不是必须用解析几何建立直角坐标系?
如果可以用初中的方法的话很简单.
直接延长AD和BC交于E
然后根据60度和三角形相似所有线段长都可以求出来。

如果是建立直角坐标系的话计算量有点大。
不过给你提供个思路：

ABCD四点共圆
以AC为直径。
正弦定理解法:

因为ABCD四点共圆
连接AC则两个三角形有共同的外接圆。

设角ACD=α，角ACB=β
根据正弦定理：
5/sinα=4/sinβ=2R

所以sinα=5/2R，sinβ=4/2R
则有sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
因为α+β=∠C=120°
所以sinα+sinβ=2sin60°cos[(α-β)/2]=9/2R

同理
sinα-sinβ=2sin[(α-β)/2]cos[(α+β)/2] =-2cos60°sin[(α-β)/2]=1/2R

两式做商
tan[(α-β)/2]=√3/9

然后可以求出sin[(α-β)/2]
代入式子1
则R，也就是AC/2长可以解出

看来你们老师让用三角函数公式啊？

Answer 2

连结AC、BD。
由余弦定理可知
AB*AB+AD*AD-2*AB*AD*cos60=BC*BC+CD*CD-2*BC*CD*cos120=BD*BD(1)
AB*AB+BC*BC=AD*AD+CD*CD=AC*AC(2)
联立方程组求解，得到
BC*BC-CD*CD=9（3）
BC*BC+CD*CD+BC*CD=21（4）
(3)*7-(4)*3：
(4*BC+5*CD)(BC-2*CD)=0
因此 BC/CD=2
然后可以利用(3)把BC或CD求出，进而求得AC