Question

高等数学f(x+y)=f(x)+f(y)/1-f(x)f(y),求f(x)

f(x+y)=f(x)+f(y)/1-f(x)f(y),则f(x)=tan(ax)怎么证明？
f(x)在（-∞，+∞）上有定义，且f'(x)=a(a不等于0)

Answer 1

我把以前的评论做了修改：
令x=0且y=0,推出f(0)只能等于0, 然后f'(x)=a两边同时积分，就是f(x)=ax+c (c为常数)
因为f(0)=0 所以c=0
答案为f(x)=ax，但是楼主检验了，带回原方程式不成立，我疏忽了这一点，所以f(x)应该不是ax,经检查，上面的步骤都是正确的，没有出错，唯一找出了一个问题在f'(x)=a这里，我是直接利用公式积分的，但是得出的结论不正确，说明不能用公式，该换用导数的定义,又f(x+y)=f(x)+f(y)/[1-f(x)f(y)]形式和tan(x+y)=(tanx+tany)/(1+tanx*tany)结构很接近，所以另f(x)=tan(kx),利用待定系数法及导数的定义来证明及解答;
导数的定义f'(x)=lim[tan(kx+k&x)-tankx]/k&x （&x代表微小增量,其值趋近于零）
把tan(kx+&x)=[(tankx+tan&x)/1-tankx*tan&x]带入上面的定义式，化简得
f'(x)=tank&x*[1+(tankx)^2]/k*&x(1-tankx*tan&x)
由于&x约为零，与tan&x就互为同阶无穷小,并且tank&x趋于0
最后化为：f'(x)=1+(tankx)^2
=(seckx)^2=a

Answer 2

f(x+y)=f(x)+f(y)/1-f(x)f(y),则f(x)=tan(ax)怎么证明？
令x=y
f(2x)=f(x)+f(x)/[1-f(x)]^2

tan2x=tanx+tanx/1-[tanx]^2

所以f(2x)=tan2x
f(x)=tanx
由f'(x)=a
所以f(x)=tanax

Answer 3

首先f(0)=0
然后
(f(x+y)-f(x))/y=f(y)/y*(1+f(x)^2)/(1-f(x)f(y)))
令y->0.即
f'(x)=f'(0)(1+f(x)^2)，
解微分方程就OK