Question

已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时，f(x)＜0,又f(3)=-2.

已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时，f(x)＜0,又f(3)=-2.

求：(1)判断该函数的奇偶性；
(2)判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[-12,12]上的最大值和最小值。

Answer 1

1)
x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以为奇函数！
2)
当x＞0时，f(x)＜0

设定义域R内x1 <x2 设x2=x1+d d>0
f(x2)=f(x1+d)=f(x1)+f(d)
d>0 f(d)<0
f(x2)-f(x1)=f(d)<0
所以函数在R上单调递减！

3）
所以：f(x)在[-12,12]上的最大值为f(-12)
最小值为f(12)

f(3)=-2.f(x+y)=f(x)+f(y),
f(12)=2*f(6)=4*(f3)=-8
f(-12)=-f(12)=8
所以
f(x)在[-12,12]上的最大值为8
最小值为-8

Answer 2

令y=0，有f(x)=f(x)+f(0)，所以f(0)=0
令y=-x，有f(0)=f(x)+f(-x),又因为f(0)=0
所以f(x)+f(-x)＝0,f(x)=-f(-x)
1.所以f(x)为奇函数
又f(0)=0、f(3)=-2,f(x)为奇函数
2.所以该函数在R上的单调递减
3.由该函数在R上的单调递减，
所以最大值为f(-12），最小值为f(12)
且f(12)=-f(-12)
f(12)＝f(6)+f(6)＝2(f(6))＝2(f(3)+f(3))＝4f(3)＝－8
f(-12)=-f(12)＝8

Answer 3

①令x=y=0，则 f(0)+f(0) =f(0+0),所以f(0)=0
令y= —x，则 f(x)+f(—x) =f(x—x)=f（0）=0, 即f(—x)= —f(x) （x属于R）
所以f(x)为奇函数
②由f(x)为奇函数及f（x）+f（y）=f（x+y）
设 任意实数x1,x2,且x1＜x2
则f(x2) —f(x1)=f(x2)+[ —f(x1)]=f(x2)+f(—x1)=f(x2+(— x1)) =f(x2—x1)
∵x＞0时, f(x)＜0，又 ∵x2—x1＞0，
∴f(x2—x1)＜0, 即f(x2) —f(x1)＜0，也就是f(x1)＞ f(x2)
综上f(x)在R上是减函数

③∵f(x)在R上是单调减函数
∴f(x)在[—12,12]上的最大值为f(—12)，最小值为f(12)。
又∵f（x）+f（y）=f（x+y）及f(3)= —2
∴f(6) = f（3+3）=f（3）+f（3）= —2+(—2)= — 4,
f（12）= f（6+6）= f（6）+f（6）= — 4+(— 4)= — 8
又∵f(x)为奇函数
∴f(—12)= —f(12)=8
综上f(x)在[—12,12]上的最大值为8，最小值为— 8

Answer 4

太难了……

Answer 5

不会#24