Question

若不等式mx^2+2(m+1)x+4+9m<0的解集为R，求实数m的取值范围。

Answer 1

m=0，则2x+4<0,此时解集不是R

m不等于0，则这是二次不等式
二次函数恒小于0，则开口向下且和x轴没有交点，即判别式小于0
开口向下,m<0
判别式小于0，4(m+1)^2-4m(4+9m)<0
m^2+2m+1-4m-9m^2<0
8m^2+2m-1>0
(4m-1)(2m+1)>0
m>1/4,m<-1/2
m<0

所以m<-1/2

Answer 2

当m=0时，原不等式等价于2x+4<0
可解得x<-2，与原题不符
当m不等于0，令f（x）=mx^2+2(m+1)x+4+9m=m（2-(2m+1)/(2m))^2-(2m+1)^2/(4m)+4+9m
当m>0时，f（x）的图像为开口方向向上的抛物线，在R上无法使f（x）<0成立
故m不可能大于0
当m<0时，f（x）的图像为开口方向向下的抛物线，若在R上使f（x）<0成立，
则有
判别式4（m+1）^2-4m(4+9m)<0
最大值-(2m+1)^2/(4m)+4+9m<0

最后的结果自己算吧
太复杂了

Answer 3

“不等式mx^2+2(m+1)x+4+9m<0的解集为R”的含义为：“m<0，且mx^2+2(m+1)x+4+9m=0无解”：
m<0-------(1)
4(m+1)^2-4m(4+9m)<0-------(2)
根据（1）（2）可解得m的取值范围，您自己解了。

Answer 4

当m=0时显然不成立，故m#0.原不等式左边为一个二次函数，要使它恒小于0则必需二次函数的图像开口向下而且顶点在x轴的下方：所以可列出方程组m<0……&1判别式<0……&2联立解得:m<-(1/2)！