Question

求证:定义域关于原点对称的函数可以写成一个奇函数与一个偶函数的和

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Answer 1

任意函数f(x)，构造两个函数，g(x)，h(x)，其中，g(x)=(f(x)-f(-x))/2，h(x)=(f(x)+f(-x))/2，由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)，h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)。所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)，所以对于任意定义域关于原点对称的函数f（x）都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。

定义域（domain of definition）指自变量x的取值范围，是函数三要素(定义域、值域、对应法则）之一，对应法则的作用对象。求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。

1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(Even Function)。

Answer 2

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)
所以对于任意定义域关于原点对称的函数f（x）都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和