Question

已知a是正整数，如果关于x方程x³+(a+17)x²+(38-a)x-56=0 的根都是整数，求a的值及方程的整数根.

Answer 1

x³+(a+17)x²+(38-a)x-56=0
x³+ax²+17x²+38x-ax-56=0
(ax²-ax) + (x³-x²) +(x²+17x²-18x) +(18x+38x-56)=0
ax*(x-1)+x²(x-1)+18x(x-1)+56(x-1)=0
(x-1)*(x²+ax+18x+56)=0
所以: x1=1
x2+x3=-a-18
x2x3=56
当:x2=1时, X3=56, a=-75
当:x2=-1时, X3=-56, a=39
当:x2=7时, X3=8, a=-33
当:x2=-7时, X3=-8, a=-3
当:x2=2时, X3=28, a=-48
当:x2=-2时, X3=-28, a=12
当:x2=4时, X3=14, a=-36
当:x2=-4时, X3=-14, a=0
即:a的值及方程的整数根如下:
a=-75 X=(1,1,56)
a=39 X=(1,-1,-56)
a=-33 X=(1,7,8)
a=-3 X=(1,-7,-8)
a=-48 X=(1,2,28)
a=12 X=(1,-2,-28)
a=-36 X=(1,4,14)
a=0 X=(1,-4,-14)