Question

已知点P在等边三角形ABC内部，PD垂直AB于D，PE垂直BC于E，PF垂直CA于F，求证：PD+PE+PF为定值。

已知点P在等边三角形ABC内部，PD垂直AB于D，PE垂直BC于E，PF垂直CA于F，求证：PD+PE+PF为定值。

Answer 1

连结AP，BP，CP，则等边三角形ABC由三个小三角形组成
设等边三角形的边长是a，面积是S，则有
S=S(ABP)+S(BCP)+S(CAP)
=(1/2)×AB×PD+(1/2)×BC×PE+(1/2)×CA×PF
=(a/2)×PD+(a/2)×PE+(a/2)×PF
=(a/2)×(PD+PE+PF)
所以PD+PE+PF=2S/a
因为S，a都与P的位置无关
所以PD+PE+PF=定值

Answer 2

首先△ABC的面积为定值，设为s
AB*PD+BC*PE+AC*PF
=2（△PAB的面积）+（△PAC的面积）+（△PBC的面积）
=2△ABC的面积
=2s
又，AB=AC=BC
AB*PD+BC*PE+AC*PF
=(PA+PB+PC)*AB=2s

所以，PA+PB+PC
=2s/AB为定值。

[S=√3/4 *AB^2]

Answer 3

ABC的面积为定值，而他又可以表示为1/2(PD*AB+PE*BC+PF*AC )
又等边三角形ABC，所以
PD*AB+PE*BC+PF*AC=（PD+PE+PF）*AB
为定值，所以：PD+PE+PF为定值。

Answer 4

证明:连接AP,BP,CP
则:S△ABC=1/2bc*pe+1/2ac*pf+1/2ab*pd
=1/2(bc*pe+ac*pf+ab*pd)
=1/2(pd+pe+pf)*边长
∵△边长一定,则面积一定
∴pd+pe+pf 为定值