Question

是否存在常数a，b，c，是等式1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2=an/3(bn^2+c)对任意正整数n都成立？

Answer 1

是否存在常数a，b，c，是等式1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2=an/3(bn^2+c)对任意正整数n都成立？
存在！a=1/4,b=1/2,c=1/4.
分析如下因为要想x<=f(X）<=1/2*（1＋x^2），对一切x∈R都成立，而y=x和y=1/2*（1＋x^2）交于点（1，1）所以f(x)也必过（1，1）f(x)又经过（-1，0）
所以：a-b+c=0,a+b+c=1.解得b=1/2,a+c=1/2。带入不等式，
ax^2+1/2x+c>=x
+1/2x+c<=1/2*（1＋x^2）
整理：ax^2-1/2x+c>=0
（1/2-a）x^2-1/2x+1/2-c>=0;
为使上式恒成立，（1/2）^2-4*a*c>=0
（1/2）^2-4*(1/2-a)*(1/2-c)>=0
整理得ac>=1/16
又因为a+c=1/2
得到唯一一组解a=1/4,b=1/4.

Answer 2

令m=2n-1,则上式值为:m*(m+1)*(2m+1)/6,自己算算吧......
我觉得你的命题不成立.