Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b属于（符号打不出来）R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b属于（符号打不出来）R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时,f(x)<0恒成立，证 明：（1）函数y=f（x）是R上的减函数；（2）函数y=f（x）是奇函数

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Answer 1

1 ,设 x2 > x1
f(x1) - f(x2)
= f(x1 - x2 + x2) - f(x2)
= f(x1 - x2)*f(x2) - f(x2)
= [f(x1 - x2) - 1]*f(x2)

x1 - x2 < 0 ，而已知 x<0 时, f(x) > 0。因此
f(x1 - x2) - 1 > 0
同时已知 f(x) 恒大于0。即 f(x2) > 0
因此
f(x1) - f(x2) = [f(x1-x2) -1]f(x2) > 0
即对定义域内任意 x2 > x1，恒有 f(x2) - f(x1) < 0
因此 f(x) 函数是 减函数
2、因为f（x）对一切实数，a，b都满足f(a+b)=f(a)+f(b)
所以当a=3,b=0时，f(3)=f(3)+f(0)
所以f(0)=0
有因为可取到b=-a
则f(0)=f(a)+f(-a)=0
所以f(a)=-f(-a)
所以f（x）是奇函数