Question

初三关于圆的数学题探究题，急～

已知，如图，P是圆O内一点，求作：过P点的最短弦AB，并证明你的结论
图
最好可以把做完的图发上来

Answer 1

作法：
1、作直线OP
2、过P作OP的垂线MN，MN交圆O于AB
则弦AB就是所要求作的弦

证明：
过P作一条不与直线MN及OP重合的直线，交圆O于C、D，过O作OQ⊥CD，连接OA、OD
因为对直线CD而言，OP是斜线段，OQ是垂线段
所以OP＞OQ
根据勾股定理得
PA^2＝OA^2-OP^2，DQ＾2＝OD^2-OQ^2
因为OA＝OD，OP＞OQ
所以PA^2＜PQ^2
所以PA＜PQ
根据垂径定理有：AB＝2PA，CD＝2DQ
所以AB＜CD
所以AB＜CD
当直线CD与OP重合时，CD是直径，当然是圆中最长的弦，AB＜CD
即弦AB是过点P的最短的弦

（画图软件中圆规画弧的痕迹不好弄，作垂线的痕迹自己应该能行的吧？呵呵）

供参考！江苏吴云超祝你学习进步

Answer 2

AB过P点与OP垂直，则AB为最短弦
证明：
过P点作另一弦CD（当然不能是直径，直径最长）
取此弦中点P'则点P P' O 可组成三角形且为直角三角形
OP'<OP
由R^2-OP^2=(AB/2)^2<R^2-OP'^2=(CD/2)^2
则(AB/2)^2<(CD/2)^2
AB<CD
CD是任意的，固AB最短

Answer 3

ab垂直于op 最短

作一弦cd cd不垂直于op
过o作oe垂直于cd
在直角三角形oep中 op>oe
又由于 ap^2+op^2=ce^2+oe^2=r^2 r是半径
所以 ap<ce ab<cd