Question

已知函数f(x)=|x^3-3/2(a+1)x^2+3ax|,其中a>0,若f(x)有三个极值点,则实数a的取值范围是

Answer 1

设g(x)=x^3-3/2(a+1)x^2+3ax，
那么f(x)=|g(x)|
g'(x)=3x^2-3(a+1)x+3a=3(x-1)(x-a)
当a=1时，g'(x)=3(x-1)^2≥0恒成立，
g(x)无极值点，将g(x)翻折后
得到f(x)=|g(x)|图像，g(x)的零点为f(x)的个极值点，
此时，f(x)有1个极值点。

当0<a<1时，
x<a时，g'(x)>0,g(x)递增，
a<x<1时，g'(x)<0,g(x)递减，
x>1时，g'(x)>0,g(x)递增，
∴g(x)极小值=g(1),
g(x)极大值=g(a)
若f(x)有3个极值点，则需
g(x)只有1个零点，（非g(x)极值点)
易知g(x)有1个零点为0，
∴只需g(x)极小值=g(1)=1-3/2(a+1)+3a>0
==>a>1/3
∴1/3<a<1

当a>1时，
x<1时，g'(x)>0,g(x)递增，
1<x<a时，g'(x)<0,g(x)递减，
x>a时，g'(x)>0,g(x)递增，
∴g(x)极小值=g(a),
需g(x)极小值=g(a)=a^3-3/2(a+1)a^2+3a^2>0
即2a^2-3(a+1)a+6a>0
a^2-3a<0
解得0<a<3
∴1<a<3
综上,a的取值范围是(1/3,1)U(1,3)