Question

相同的周长围成什么图形面积最大

Answer 1

圆一个点(r,a)相对于极坐标原点在平面内运动，围成一个封闭图形。对于它的轨迹中的一个微元dr(向量)=dr*i(向量)+rda*j(向量)(i、j分别是径向和切向单位向量)。如果这个点存在径向运动，dr不为0，则对dr(向量)的曲线微分dl=[(dr)^2+(rda)^2]^0.5rda——无径向运动的曲线微分，而dr(向量)和rda*j(向量)对应的面积都是1/2*r^2da。即在面积1/2*r^2da一定的情况下，对应的周长有径向运动的dr(向量)大于无径向运动的rda*j(向量)，因此周长一定时，无径向运动围得的面积要大于有径向运动的，点在无径向运动时绕极点一周得到的图形就是圆。