Question

求圆x^2+y^2-4=0与圆x^2+y^2-4x+4y-12=0的公共弦的长

用两种方法

Answer 1

方法一
x^2+y^2-4=0
x^2+y^2-4x+4y-12=0
二式相减得4x-4y+8=0
即x=y-2
代入得(y-2)²+y²-4=0
即2y²-4y=0
解得y=0或y=2
代入得x=-2或x=0
即二交点坐标为（0,2)和(-2,0)
距离：√（0-2）²+（-2-0)²=2√2

方法二
二式相减得
二式相减得4x-4y+8=0
即x-y+2=0
即二圆的公共弦在直线x-y+2上
圆心（0，0）到直线距离为|2|/√1²+(-1)²=√2
又半径为2，所以半弦长为√2²-（√2）²=√2
则公共弦长为2*√2=2√2

Answer 2

x²+y²-4=0 (1)
x²+y²-4x+4y-12=0 (2)
(1)-(2)得
4x-4y=8, 即x=y-2 (3)
代入(1)得(y-2)²+y²-4=0 即 2y²-4y=0 y=0 或 y=2
代入(3)得 x=-2 或 x=0
两圆交点的坐标为（0,2) 和 (-2,0)
公共弦距离=√[(-2-0)²+(0-2)²]=√8 = 2√2

Answer 3

解：圆x^2+y^2-4=0与圆x^2+y^2-4x+4y-12=0方程相减得：x-y+2=0，
∵圆心（0，0）到直线x-y+2=0的距离d=2/根号2=根号2，r=2，
则公共弦长为2根号下（r^2-d^2）=2根号2

Answer 4

设公共弦为AB
x²+y²-4=0 ……①
x²+y²-4x+4y-12=0 ……②
① － ②，得：
4x-4y+8=0 ……③
即：x-y+2=0，这就是公共弦所在的直线。 (不懂的话，看下面的备注)
圆x²+y²-4=0圆心为O(0，0)，半径r=2
圆心O到公共弦的距离为
d=2/√2=√2
∴|AB|/2=√(r²-d²)=√2
∴|AB|=2√2

备注：
设方程组的根为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴A可以代入①、②中
再用①－②，得4x1-4y1+8=0，即x1-y1+2=0
同理可得x2-y2+2=0
∴A(x1，y1)，B(x2，y2)同时满足方程x-y+2=0
∴AB在直线x-y+2=0上