Question

证明向量组α,β,γ线性无关的充要条件是向量组2α+β,β+3γ,3γ+α线性无关 麻烦列出证明过程啊

Answer 1

矩阵[2α+β,β+3γ,3γ+α]=[2,1,0;0,1,3;1,0,3]*[α,β,γ]=A*[α,β,γ]；显然A=[2,1,0;0,1,3;1,0,3]为满秩矩阵；2α+β,β+3γ,3γ+α线性无关也就是[2α+β,β+3γ,3γ+α]的秩为3，则（A的逆）*[2α+β,β+3γ,3γ+α]=[α,β,γ]的秩也为3，[α,β,γ]线性无关，为充分条件得证；反之α,β,γ线性无关则[α,β,γ]的秩为3，则[2α+β,β+3γ,3γ+α]=A*[α,β,γ]的秩也为3，[2α+β,β+3γ,3γ+α]线性无关，为必要条件得证。