Question

近世代数两题，求大神解答

第一题:N是群G的正规子群，L为G/N的子群，求证:存在H,有H为G的子群，且L=H/N
第二题:设I是环R（不一定有单位元）的一个理想，证明:商环R/I没有真理想<=>I是R的极大理想.

Answer 1

(1).做自然同态f:G->G/N.
(2)
.=> 设J为包含I的非平凡理想，于是J/I为R/I的理想，由于R/I无真理想，得出J/I=0，因此J=I，I极大.
<= 若存在J为R的非平凡理想,使得J/I为R/I的理想，由I极大得出J=I，因此J/I=0，故R/I无非平凡理想.