Question

已知函数f(x)=1/2ax^2-2x+2+lnx,在(1,正无穷)上只有一个极值点，求实数a的取值范围（用分离参数来做）

Answer 1

f'(x)=ax-2+1/x=(ax²-2x+1)/x,因此在(1,+∞)中只有一个极点，因此f'(x)=0在(1,+∞)中有一个单根或者两个相同的实根。不过事实上只有当a=1时f'(x)=0才有两个相同实根，且其为1，不满足题目条件，因此f'(x)=0在(1,+∞)中有一个单根。若a=0,f'(x)=0有一根x=1/2不满足条件；若a≠0，则在4-4a≥0时f'(x)=0才有实根，因此a<1（前面已剔除a=1的情况）.若a<0,则有[1+√(4-4a)]/2a≤1<[1-√(4-4a)]/2a.[1+√(4-4a)]/2a分子为正分母为负，显然小于1.1<[1-√(4-4a)]/2a推出2a>1-√(4-4a),√(4-4a)>1-2a>1,因此4-4a>(1-2a)²,4a²<3,-√3/2<a<0;若0<a<1,则[1-√(4-4a)]/2a≤1<[1+√(4-4a)]/2a,左边的不等式化为1-√(4-4a)≤2a，若a≥1/2,则1-2a≤0＜√(4-4a)；若a<1/2，则0<1-2a<√(4-4a)，4a²<3，显然成立，因此不等式左边必然满足。右边不等式化为2a<[1+√(4-4a)],2a-1<√(4-4a).若a<1/2，则2a-1<0<√(4-4a)；若a≥1/2,则0<2a-1<√(4-4a),因此4a²<3，0<a<√3/2。综上所述，当0<|a|<√3/2时，f(x)在(1,+∞)上只有一个极值点

Answer 2