Question

题文 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上 ，离心率等于1/2 ，它的一个顶点恰好是抛 物线x2

题文 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上 ，离心率等于1/2 ，它的一个顶点恰好是抛 物线x2=8根号3的焦点．PQ过椭圆焦点且PQ ⊥x轴，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的 两动点． （1）求椭圆C的方程； （2）P(2.3) Q(2.-3)若直线AB的斜率为1，求四边形A PBQ面积的最大值； （3）当A、B运动时，满足∠APQ=∠B PQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请 说明理由．

Answer 1

(1)抛物线x^2=8√3y的焦点是(0,2√3),(注：改题了)
b=2√3，c/a=1/2,∴c^2=a^2-12=a^2/4,∴a^2=16,
∴椭圆C的方程是x^2/16+y^2/12=1.①
(2)设AB;y=x+m,代入①，3x^2+4(x^2+2mx+m^2)=48,
整理得7x^2+8mx+4m^2-48=0,
△=64m^2-28(4m^2-48)=1344-48m^2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1<2<x2,则x1+x2=-8m/7,x1x2=(4m^2-48)/7,
(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=(4m^2-48+16m+28)/7<0,
∴m^2+4m-5<0,
∴-5<m<1.
四边形APBQ面积S=(1/2)|PQ|(x2-x1)=(1/2)*6*√△/7，
当m=0时S取最大值（12/7）√84.
(3)设AP:y-3=k(x-2),即y=kx+3-2k,②
代入①，3x^2+4[k^2x^2+(6k-4k^2)x+(3-2k)^2]=48,
整理得(3+4k^2)x^2+(24k-16k^2)x+4(3-2k)^2-48=0,
x1=xP=2,x2=xA=[2(3-2k)^2-24]/(3+4k^2)=(-6-24k+8k^2)/(3+4k^2),
代入②，yA=(9-12k-12k^2)/(3+4k^2),
由∠APQ=∠BPQ知PA,PB的斜率互为相反数，
以-k代k,得xB=(-6+24k+8k^2)/(3+4k^2),yB=(9+12k-12k^2)/(3+4k^2),
∴AB的斜率=24/48=1/2.