Question

已知数列{An}中，a1=1,前n项和为Sn且Sn+1=3/2Sn +1(n属于N)(1)求数列{

已知数列{An}中，a1=1,前n项和为Sn且Sn+1=3/2Sn +1(n属于N)(1)求数列{An}的通项公式(2)设数列{1/An}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn<12/Sn+2的n值

Answer 1

(1) 由Sn+1=3/2Sn +1① 得 当n≥2时，Sn=3/2Sn-1 +1②
①-②得Sn+1－Sn=3/2（Sn-Sn-1）即an+1=3/2an
∴an+1 ／an =3/2
又a1=1，得S2=3/2 a1 +1=a1+a2
∴a2/a1=3/2
∴数列﹛an﹜是首项为1，公比为3/2的等比数列
∴an=(3/2)^(n-1)

Answer 2

你好：
S(n+1)=3/2Sn+1
S(n+1)+2=3/2Sn+3
S(n+1)+2=3/2(Sn+2)
[S(n+1)+2]/[(Sn+2)]=3/2
所以Sn+2是以3/2为公比的等比数列
Sn+2=(S1+2)*q^(n-1)
Sn+2=(a1+2)*q^(n-1)
Sn+2=(1+2)*(3/2)^(n-1)
Sn=3*(3/2)^(n-1)-2Sn=3*(3/2)^(n-1)-2
S(n-1)=3*(3/2)^(n-2)-2
an=Sn-S(n-1)
=3*(3/2)^(n-1)-2-3*(3/2)^(n-2)+2
=3*3/2*(3/2)^(n-2)-3*(3/2)^(n-2)
=(9/2-3)*(3/2)^(n-2)
=3/2*(3/2)^(n-2)
=(3/2)^(n-1)
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Answer 3

S(n+1)=(3/2)Sn +1
S(n+1)+2=(3/2)Sn +3=(3/2)(Sn +2)
[S(n+1)+2]/(Sn+2)=3/2，为定值
S1+2=a1+2=1+2=3，数列{Sn +2}是以3为首项，3/2为公比的等比数列。
Sn +2=3×(3/2)^(n-1)
Sn=3×(3/2)^(n-1) -2
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3×(3/2)^(n-1) -2-3×(3/2)^(n-2)+2=(3/2)^(n-1)
n=1时，a1=(3/2)^0=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=(3/2)^(n-1)
1/an=1/(3/2)^(n-1)=(2/3)^(n-1)
1/a1=1/1=1
[1/a(n+1)]/(1/an)=(2/3)ⁿ/(2/3)^(n-1)=2/3，为定值，数列{1/an}是以1为首项，2/3为公比的等比数列
Tn=1×[1-(2/3)ⁿ]/(1-2/3)=3 -3×(2/3)ⁿ
Tn<12/(Sn +2)
3- 3×(2/3)ⁿ<12/[3×(3/2)^(n-1)]
3-3×(2/3)ⁿ<4/(3/2)^(n-1)
(3/2)^(n-1)<2
底数3/2>1，随n增大，(3/2)^(n-1)单调递增
1<2，此时n-1=0 n=1
3/2<2，此时n-1=1 n=2
(3/2)^2=9/4>2，即当n-1≥2时，也即n≥3时，(3/2)^(n-1)>2
综上，得满足不等式成立的n的值有两个：1、2，满足不等式成立的最大n值为2。