Question

小学奥数题目!!

怎么做！急求

Answer 1

在AD上取一点H，使得HD=AE，并令EG和FC的交点为P，如图所示。

∵AF:AB=AE:ED，∴AE:AH=AE:(AD-HD)=AE:(AD-AE)=AE:DE=AF:AB

∴EF//BH。

∵ BG=AE=HD，BG//HD，∴GD//BH//EF

∵GD//EF，∴S△DEG=S△FGD=16，即S△GCD=16

S△FEC=S△FEP+S△EPC=AE*EP/2+ED*EP/2=AD*EP/2=AD*(AB-PG)/2=1/2S口ABCD-S△FGC

同理可得，S△FGD=1/2S口ABCD-S△FED

于是，S△FEC+S△FGD=S口ABCD-(S△FGC+S△FED)=S△FDC+S△FAE+S△FBG=1/2S口ABCD+(S△FAE+S△FBG)=1/2S口ABCD+1/2S口ABGE=S△ABD+1/2S口BGDH=S△ABD+S△BGD=S口ABGD=20+16=36

于是：

S口ABCD=S口ABGD+S△GCD=36+16=52

Answer 2

解：设AD=BC=a，AB=CD=b，且AE:ED=AF:AB=BG:GC＝t
则AE=tED，AF=tAB=tb，BG=tGC
所以FB=AB-AF=(1-t)b
又AE+ED=BG+GC=AD=BC=a
则易得AE=BG=a/(1+t)，ED=GC=ta/(1+t)
因为面积：S梯形ABCE=S三角形AEF+S三角形EFC+S三角形BCF
且S三角形EFC＝20
所以1/2*(AE+BC)*AB=1/2 *AE*AF +20 +1/2 *FB*BC
即[a/(1+t) +a]*b=[a/(1+t)]*tb+40+(1-t)b*a
ab[1/(1+t) +1- t/(1+t)+t-1]=40
ab[(1-t)/(1+t) +t]=40 (1)
又因为面积：S梯形BCDF=S三角形BGF+S三角形FGD+S三角形CDG
且三角形FGD的面积为16
所以1/2*(FB+CD)*BC=1/2 *FB*BG +16 +1/2 *GC*CD
即[(1-t)b+b]*a=(1-t)b*a/(1+t) +32 + [ta/(1+t)]*b
ab[2-t+(t-1)/(1+t) - t/(1+t)]=32
ab[2-t -1/(1+t)]=32 (2)
(1)除以(2)可得：
[(1-t)/(1+t) +t] / [2-t -1/(1+t)]=40/32=5/4
即4(1-t)/(1+t) +4t=10-5t -5/(1+t)
(9-4t)/(1+t)=10-9t
9-4t=-9t²+t+10
即9t²-5t-1=0
解得t=(5+√61)/18 （t=(5－√61)/18<0，不合题意，舍去）
将t代入(2)式可得：
ab { 2-(5+√61)/18 -1/[1+(5+√61)/18] }=32
ab[(31-√61)/18 - 18/(23+√61)]=32
ab[(31-√61)/18 - (23-√61)/26]=32
ab[(31-√61)/9 - (23-√61)/13]=64
ab[(13-√61)/9 + (3+√61)/13]=64
ab[(39-13√61 +27+9√61)/117]=64
即ab(66-4√61)=64*117
ab(33-2√61)=32*117
ab=32*117 / (33-2√61)=3734*(33-2√61) / 845
所以长方形ABCD的面积是3734*(33-2√61) / 845

追问

不对...答案是52.应该也没这么复杂吧

追答

设正方形ABCD的边长为a,AE=BG=x,ED=GC=AD-AE=a-x
S正方形ABCD=a²

AF/AB=AE/ED
得AF=AB•AE/ED=ax/(a-x)
BF=AB-AF=a-ax/(a-x)

SΔAEF+SΔBCF+SΔDCE=(AE•AF+BC•BF+DC•DE)/2={ax²/(a-x)+a[a-ax/(a-x)]+a(a-x)}/2
SΔADF+SΔBCF+SΔCDG=(AD•AF+BG•BF+DC•DG)/2={a²x/(a-x)+x[a-ax/(a-x)]+a(a-x)}/2

SΔFCE=S正方形ABCD-(SΔAEF+SΔBCF+SΔDCE)......①
SΔFGD=S正方形ABCD-(SΔADF+SΔBCF+SΔCDG)......②

a²-{ax²/(a-x)+a[a-ax/(a-x)]+a(a-x)}/2=20......①
a²-{a²x/(a-x)+x[a-ax/(a-x)]+a(a-x)}/2=16......②

ax²/(a-x)+a²-a²x/(a-x)+a(a-x)=2a²-40......①
a²x/(a-x)+ax-ax²/(a-x)+a(a-x)=2a²-32......②

①+②得a²+ax+2a(a-x)=4a²-72......③
①-②得2ax²/(a-x)-2ax²/(a-x)+a²-ax=-8......④

a²+ax-72=0......③
2ax²-2a²x+a(a-x)²+8(a-x)=0......④

a²+ax-72=0......③
-2ax(a-x)+a(a-x)²+8(a-x)=0......④

a²+ax-72=0......③
a(a-x)-2ax+8=0......④

a²+ax-72=0......③
a²-3ax+8=0......④

③×3+④得4a²-208=0
a²=52

正方形ABCD的面积是52cm²

Answer 3

设AB=b，BC=a，AF：AB=AF：b=m，可以得到以下四个重要的关系式：
AF=mb
FB=b（1-m）
AE=ma/（m+1）
ED=a/（m+1）
注意，后面两个式子是通过比例性质得到的。
现在再来看两个给定的面积（16和20），它们分别是由长方形面积减去三个三角形面积得到的，长方形的面积为ab，其他每个三角形的面积都可以用上面给出的四个式子来表示，这样可以得到两个等式：
ab/（m+1)=32
abm/（m+1)=20
两式相除，即可求得m=5/8；把m带入上面一式，可以得到：
ab=52.----这就是长方形ABCD的面积。

Answer 4

设AF：AB=AE:ED=t AB=a ED=GC=b 并设△CDE面积为S 那么△CDG面积=S
那么由AE=BG=tb AF=ta FB=(1-t)a AD=(1+t)b
长方形ABCD面积=(1+t)ab=2(1+t)S △AEF面积=(1/2)(ta)(tb)=t²S
△BCF面积=(1/2)(1-t)a (1+t)b=(1-t²)S
所以 △BCF面积+△AEF面积+△CDE面积=2S
所以△FEC面积=长方形ABCD面积- （△BCF面积+△AEF面积+△CDE面积）=2tS=20 （*）

类似可求得 △ADF面积=(1/2)(ta)(1+t)b=t(1+t)S
△FBG面积=(1/2)(1-t)a tb=t(1-t)S
△FGD面积=长方形ABCD面积- （△ADF面积+△FBG面积+△CGD面积）
=2(1+t)S-[t(1+t)S +t(1-t)S+S ]=S
所以S=16
长方形ABCD面积=(1+t)ab=2(1+t)S =2S+2tS=32+20=52

Answer 5