Question

高阶导数的求法。

两道题目。

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

Answer 1

y = ln(1-2x)
y'= -2/(1-2x)
y'' = (-2)^2. (-1)/(1-2x)^2 = -4/(1-2x)^2
y''' = -4(-2)(-2)/(1-2x)^3
= -16/(1-2x)^3
y(n) = -(n-1)! 2^n/ (1-2x)^n
y(n)(0) =-(n-1)! 2^n

f(x) = x^2.ln(1+x)
f'(x) = x^2/(1+x) + 2xln(1+x)
f''(x) = [2x(1+x) - x^2]/(1+x)^2 + 2[ x/(1+x) + ln(1+x) ]
=(3x^2+4x)/(1+x)^2 +2ln(1+x)
f'''(x) =[(6x+4)(1+x)^2 - 2(3x^2+4x)(1+x) ]/(1+x)^4 + 2/(1+x)
= [ (6x+4)(1+x)- 2(3x^2+4x) +2(1+x)^2 ] /(1+x)^3
=( 6x^2+10x+4 -6x^2-8x + 2+4x+2x^2)/(1+x)^3
=(2x^2+6x+6)/(1+x)^3
=2(x^2+3x+3)/(1+x)^3
= 2/(x+1) + (2x+4)/(1+x)^3
= 2/(x+1) + 2/(1+x)^2 + 2/(1+x)^3
= 2[ 1/(1+x)+ 1/(1+x)^2 +1/(1+x)^3 ]
for n>=3
f(n)(x) = 2. (-1)^(n-3). { [(n-3)!/(1+x)^(n-2)] + [(n-2)!/(1+x)^(n-1)] + [ (n-1)!/ (2(1+x)^n) ] }