Question

曲线y=1-根号1-x^2与直线y=k(x-1)-1有两个交点，k取值范围（-1小于等于x小于等

0）

Answer 1

若直线y=k(x-1)+2与曲线y=√(1-x²)有两交点,求k取值范围
解：曲线y=√(1-x²)的定义域为-1≦x≦1，值域为[0，1]；其图像是过三点A(-1，0)，B(0，1)，C(1，0)三点的抛物线；直线y=k(x-1)+2过定点P(1，2)；
设过P所作曲线的切线的斜率为k₁，连接PA的直线的斜率为k₂；由简单作图可以看出：
当k₁<k≦k₂时直线y=k(x-1)+2与曲线y=√(1-x²)有两交点。
令kx-k+2=√(1-x²)，两边平方去根号得：k²x²+k²+4-2k²x+4kx-4k=1-x²
(k²+1)x²-2k(k-2)x+k²-4k+3=0令其判别式△=4k²(k-2)²-4(k²+1)(k²-4k+3)=4k²(k²-4k+4)-4(k⁴-4k³+4k²-4k+3)=16k-12=0，得k₁=3/4；即当k=k₁=3/4时直线y=(3/4)(x-1)+2=(3/4)x+5/4与曲线y=√(1-x²)相切。点A与点P的连线的斜率k₂=(2-0)/[1-(-1)]=2/2=1；故k的取值范围为(3/4，1].