Question

两道看起来很简单的微积分题，我不会做，谢谢

（1）设x1=a.x2=b,xn+2=（xn+1+xn）/2，证明其收敛且求其极限（n=1,2……） （2）设xn=sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+……sqrt(a)))),证明xn收敛于1/2（1+sqrt(1+4a)）

Answer 1

(1)不妨设a<=b （或者a>=b）,xn+2=（xn+1+xn）/2 得出a<=xn<=b 所以数列收敛 xn的几何意义取前两项至平均值 n趋于无穷大，xn无限靠近x1 x2平均值 所以极限为(a+b)/2 (2)xn=sqrt(a+sqrt(a+sqrt(a+……sqrt(a)))) 设极限为m 显然m>=0 两边同时求极限 则有m=sprt(a+m) m>=0 解得m=1/2sqrt(1+sqrt(1+4a)) 大学的知识忘得差不多了 不知道证明数列收敛的方法是否符合规定