Question

当n充分大时极限limAN=a,则有|an|>|a|/2的证明过程

Answer 1

lim an=a，即对∀ε>0，∃N，当n>N时，|an-a|<ε，根据ε的任意性，取ε=|a|/2，于是
∃N，当n>N时，|an-a|<|a|/2，于是|a|-|an|<|an-a|<|a|/2,进而|an|>|a|-|a|/2=|a|/2

Answer 2

对于ε=|A|/2，因为lim(n→∞) an=a，所以存在正整数N，当n＞N时，|an-a|＜ε=|a|/2。

所以，n＞N时，|an|=|(an-a)+a|≥|a|-|an-a|＞|a|-|a|/2=|a|/2。