已知△ABC是非直角三角形。（1）求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCtan；（2）若A>B，且tanA=-2tanB，求证
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2014-07-30 · 知道合伙人教育行家
wangcai3882
知道合伙人教育行家
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本人擅长中学阶段数、理、化、生等理科知识，尤其是数学。高中时曾参加全国数学竞赛并获奖，期望能为你答疑
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证明：
（1）
∵A+B＝π-C ∠A、∠B、∠C均不为90º
∴tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
（2）
∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tanA=-2tanB
∴-2tanB+tanB+tanC=-2tanBtanBtanC
tanC-tanB=-2tan²BtanC
∴tanC=tanB/(1+2tan²B)
=(sinB/cosB)/(1+2sin²B/cos²B)
=sinBcosB/(cos²B+2sin²B)
=1/2sin2B/[1+(1-cos2B)/2]
=sin2B/[2+1-cos2B]
=sin2B/(3-cos2B)
即tanC=sin2B/(3-cos2B)
（1）
∵A+B＝π-C ∠A、∠B、∠C均不为90º
∴tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=-tanC
tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
（2）
∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tanA=-2tanB
∴-2tanB+tanB+tanC=-2tanBtanBtanC
tanC-tanB=-2tan²BtanC
∴tanC=tanB/(1+2tan²B)
=(sinB/cosB)/(1+2sin²B/cos²B)
=sinBcosB/(cos²B+2sin²B)
=1/2sin2B/[1+(1-cos2B)/2]
=sin2B/[2+1-cos2B]
=sin2B/(3-cos2B)
即tanC=sin2B/(3-cos2B)
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