Question

∫1/cos³xdx

不定积分的题。看了答案，但是依然很茫然！到这步做不出来了！

Answer 1

化成
∫cosxdx/cos^4x
=∫d(sinx)/(1-sin²x)², 令u=sinx
=∫du/[(1-u)²(1+u)²]

分解部分分式：
1/[(1-u)²(1+u)²]=a/(1-u)²+b/(1+u)²+c/(1+u)+d/(1-u)]
1=a(1+u)²+b(1-u)²+c(1+u)(1-u)²+d(1-u)(1+u)²
1=a(1+2u+u²)+b(1-2u+u²)+(1-u²)(c-cu+d+du)
1=(c-d)u^3+u²(a+b-c)+u(2a-2b-c+d)+a+b+c+d
因此c-d=0, a+b-c=0, 2a-2b-c+d=0, a+b+c+d=1
解得：a=b=1/6, c=d=1/3,

所以原式=a/(1-u)-a/(1+u)+cln(1+u)/(1-u)+C
=u/[3(1-u²)]+(1/3)ln(1+u)/(1-u)+C
=sinx/(3cos²x)+(1/3)ln(1+sinx)/(1-cosx)+C

Answer 2

∫1/(cosx)^3 dx=∫(secx)^3 dx
=∫secx dtanx
= secx.tanx -∫secx .(tanx)^2 dx
= secx.tanx -∫secx .[(secx)^2-1] dx
2∫1/(cosx)^3 dx =secx.tanx +∫secx dx
=secx.tanx +ln|secx+tanx|
∫1/(cosx)^3 dx = (1/2)[secx.tanx +ln|secx+tanx|] + C