Question

证明：任意奇次项实系数多项式必有根?

任意奇次项实系数多项式必有根?
这里用的是介值定理解答的！！
怎么证明lim(x→-∞)f(x)=+∞
lim(x→+∞)f(x)=-∞的 ？

Answer 1

证明：设f(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a1x+a0(其中n为奇数)
明显有f(x)为连续函数
当an>0时有：
lim(x→-∞)f(x)=-∞
lim(x→+∞)f(x)=+∞
由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个0点
即f(x)至少有一个实数根。

当an<0时有：
lim(x→-∞)f(x)=+∞
lim(x→+∞)f(x)=-∞
由于f(x)是连续函数，所以f(x)至少有一个0点
即f(x)至少有一个实数根。

综上所述：任意奇次项实系数多项式至少有一根
即任意奇次项实系数多项式必有根

Answer 2

说法不确切，应该是必有实数根

证明如下：根据代数学基本定理，任何N次多项式必有N个零点（重根按重数计），再有，如果复数Z是方程的根，则Z的共轭复数，也一定是根。

就是说根是共轭成对出现的，而当N为奇数时，一定有一个根和它自己的共轭相等（否则，根的个数就是偶数个了），而这个根就是实数根

Answer 3

我刚刚答过，你说你不懂这两步
lim(x→-∞)f(x)=-∞
lim(x→+∞)f(x)=+∞
当an>0时有：
lim(x→-∞)f(x)/x^n
=lim(x→-∞)[anx^n/x^n+a(n-1)x^(n-1)/x^n+....+a1x/x^n+a0/x^n]
=lim(x→-∞)[an+a(n-1)/x+...+a1/x^(n-1)+a0/x^n]
=an+0+0+0....+0
=an
lim(x→-∞)x^n明显=-∞
所以有lim(x→-∞)f(x)=an*(-∞)=-∞
同理可证lim(x→+∞)f(x)=+∞
有什么不懂的地方可以提出来