Question

一道高中数学不等式题

设a,b,c都是正实数，且a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2+X√abc<=1恒成立的实数X的最大值为——？请写明过程。

Answer 1

a²＋b²＋c²＋x√abc≤1=(a+b+c)² ∴x√abc≤2ab+2ac+2bc≤2(a²＋b²＋c²)
∴x≤2(a²＋b²＋c²)/√abc 等号当且仅当a=b=c=1/3 时成立
∴x≤2√3

Answer 2

因为 0=<x<=π/2,所以sinx,cosx,均大于等于0，小于等于1。
所以 根号sinx>=sinx, 根号cosx<=cosx,而sinx+cosx= 根号2*sin(x+π/4),大于等于1，当x=0或π/2时取等号.

关于右边的证明，不等式两边同时平方后 左边=sinx+cosx+2*根号（sinx*cosx）=根号2sin(x+π/4)+2*根号（sinx*cosx）
sinx*cosx<=(sinx*sinx+cosx*cosx)/2=0.5,当sinx=cosx取得等号，即x=π/4时
而sin(x+π/4)也在x=π/4时取得最大值1
所以左边<=根号2 +根号2 = 2*（根号2）=右边。
参考这个方法。。用极限值计算就成了。。。

追问

请写出过程