Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2， (Ⅰ)设bn=an/2n，证

明数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及前n项和的公式 详细些，希望能看懂

Answer 1

(Ⅰ)证明：由已知有a1+a2=4a1+2，解得a2=3a1+2=5，
故b1=a2-2a1=3，
又an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an， 
于是an+2-2an+1=2（an+1-2an），即bn+1=2bn，
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

追问

题目是设bn=an/2n，证明数列{bn}是等差数列

追答

稍等

稍等

追问

在么 我想问一下为什么 由（I）得bn=an+1-2an=3•2n-1，为什么可得到那个深黑体算式=
3/4 这步没看懂 教教我 3/4是怎么得出来的

追答

这两问综合起来是第一问的答案，你可以把图中的bn改成Cn  原Cn就是需要证明的bn

追问的话，我先看一下

这个就比较简单了
直接：
他求的bn是bn=a(n+1）-2an=3*2^(n-1)
下面的方法就是比较普遍的了

三项含有n的通过约分，使他们相加减得以定值。
两边同时除以2^(n-1)

追问

我还是不太明白 我比较笨 你能更具体么

我不会算 那个3/4

追答

数列通常用到的就是等差或者等比

你要想办法把他们转化成等差或者等比才能找到他们之间的关系。

那么给定了你一个式子

bn=a(n+1）-2an=3*2^(n-1)
你需要求的是an的表达式

你需要了解什么？

有关an和an-1的关系，

从上式我们没法给出一个等差或者等比的关系式

怎么办？

改成an/2^n 与an-1/2^(n-1)型的关系式

如何达到？

等式两边均除以2^(n-1)

得到

a(n+1)     an

--------  -  ----     =3

2^(n-1)    2^(n-2)

这个式子指数不一样

两边同乘1/4

可以得到

a(n+1)     an            3

--------  -  ----     =--------

2^(n+1)    2^n            4

追问

非常感谢 我懂了