Question

一道关于集合的数学题

集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}
解题过程：当m+1＞2m-1，即m＜2时，B=ϕ，满足B⊆A，即m＜2；
当m+1=2m-1，即m=2时，B=3，满足B⊆A，即m=2；
当m+1＜2m-1，即m＞2时，由B⊆A，得

m+1≥-2
2m-1≤5
m+1≤2m-1

即2≤m≤3；
综上所述：m的取值范围为m≤3．

这道题我就是不明白，为什么最后算的是2＜m≤3，综上得最后就变成m≤3了，2≤m为什么没有了？

Answer 1

首先，你得知道集合的这个关系式：
n(X) = 2^|X|；
那么，A、B、C的关系就可作如下转化：
n(A) + n(B) + n(C) = n(A∪B∪C)；
2^|A| + 2^|B| + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|；
将条件 |A| = |B| = 100 代入上式，得：
2^100 + 2^100 + 2^|C| = 2^101 + 2^|C| = 2^|A∪B∪C|；

现在，就得用到幂运算的性质了：
上式中，集合的元素个数肯定是整数；
而【2 个底数为 2 的整数次幂相加，结果是另一个底数为 2 的整数次幂】；
这样的等式，只有一种可能：
【两个加数的次幂相等】；
即：|C| = 101；此时，有：
2^101 + 2^101 = 2^102 = 2^|A∪B∪C|；
所以：|A∪B∪C| = 102；

下面，就是集合的并、交问题了：
首先，A、B、C 至少两两相交，否则 A∪B∪C 的元素肯定超过 102 个；不妨先考虑 A、B 两个集合：已知 A、B 各含 100 个元素，那么我们就可以求出它们的“交集”与“并集”的元素个数的关系了：
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 200 - |A∩B|；
还有它们的取值范围：
0 ≤ |A∩B| ≤ 100；
100 ≤ |A∪B| ≤ 200；
本题中：
|A∪B| ≤ 102；
所以：
|A∩B| 的范围就被限定为：100, 99, 98 这 3 个值；
再把 C 加进来就行了；对 C 的要求就是：
|A∪B∪C| = 102；————————————————①

可分别讨论：
（1）|A∩B| = 100；此时 |A∪B| = 100；根据①可知：
C 必然恰好有 2 个元素不在 A∪B 中，有 99 个在 A∪B 中；
而此时 A∪B = A∩B，即：A∪B 中的【100】个元素全都在 A∩B 中，那么：C 中的那【99】个元素，必然全都在 A∩B 中；所以：
|A∩B∩C| = 99；

（2）|A∩B| = 99；此时 |A∪B| = 101；根据①可知：
C 必然恰好有 1 个元素不在 A∪B 中，有 100 个元素在 A∪B 中；
在 A∪B 中，有【99】个在 A∩B 中，有【2】个不在其中；那么：C 的这【100】个元素，在分配到 A∪B 中时，根据有多少个分到 A∩B 中就有多种可能：
99 + 1：|A∩B∩C| = 99；
98 + 2：|A∩B∩C| = 98；

（3）|A∩B| = 98；此时 |A∪B| = 102；根据①可知：
C 的 101 元素必然全部都在 A∪B 中；
而在 A∪B 中，有【98】个在 A∩B 中，有【4】个不在其中；同（2）：C 的这【101】个元素，也有多种可能：
98 + 3：|A∩B∩C| = 98；
97 + 4：|A∩B∩C| = 97；

综合（1）、（2）、（3）可得 |A∩B∩C| 的最小值为：97。

Answer 2

2<m≤3是你第三类讨论得出的结果，而第一、第二类讨论也符合题意
所以这个题目的解就是这三类情况的并集，则可以得到：m≤3

Answer 3

题目要你求出所有的m，自然要包括m<=2的情况，综上是对三个范围做了合并的操作

Answer 4

当m+1＞2m-1时，m＜2
当m+1= 2m-1时，m =2
当m+1＜2m-1时，2≤m≤3
结果是综合上面三个，也就是上面三个的并集，也就是 m≤3

Answer 5

因为最后结果是取的m<2, m=2以及2<=m<=3的并集,你画一个数轴看一下就明白了,结果应该是m<=3