Question

在三角形abc中，内角ABC的对边分别为abc,已知cosa-2cosc/cosb=2c-a/b

问1.sinc/sina的值.2.若cosb=1/4.三角形ABC的周长为5，求b的长。

Answer 1

⑴、由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，
——》(cosA-2sinC)/cosB=(2sinC-sinA)/sinB，
——》cosAsinB-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，
——》cosAsinB+sinAcosB=2(sinCcosB+cosCsinB)，
——》sin(A+B)=sinC=2sin(B+C)=2sinA，
——》sinC/sinA=2；
⑵、cosB=1/4，——》sinB=√(1-cos^2B)=√15/4，
cosB=cos(π-A-C)=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=2sin^2A-√(1-sin^2A)*√(1-4sin^2A)=1/4，
——》(1-sin^2A)(1-4sin^2A)=(2sin^2A-1/4)^2，
——》sin^2A=15/64，
——》sinA=√15/8，sinC=2sinA=√15/4=sinB，
——》c=b，a=c/2=b/2
——》a+b+c=b/2+b+b=5b/2=5，
——》b=2。