Question

如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角

如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M。试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由。

Answer 1

∠M+∠CFE=90°
证明：
因为：MN和AE是∠BAC和∠BAG的平分线
所以：
∠BAE=∠CAE=∠BAC/2
∠BAN=∠GAN=∠BAG/2
所以：∠EAN=∠BAE+∠BAN=90°
所以：∠EAM=90°
所以：∠M+∠CEF=90°
因为：
∠ACD=∠ABE
∠CAF=∠BAE=∠BAC/2
所以：△CAF∽△BAE（角角）
所以：∠CFA=∠BEA
所以：180°-∠CFA=180°-∠BEA
所以：∠CFE=∠CEF
所以：∠M+∠CFE=90°

追问

AE不是∠BAC的平分线

追答

请看题目：角平分线AE交CD于点F

Answer 2

∵MN平分∠BAG，AE平分∠BAC
∴∠BAN=∠GAN=1/2∠BAG
∠CAE=∠BAE=1/2∠BAC
∴∠BAN=∠M+∠B=1/2∠BAG
∠CFE=∠ACD+∠CAE=∠B+1/2∠BAC
即1/2∠BAC=∠CFE-∠B
∴1/2∠BAG+1/2∠BAC=∠M+∠B+∠CFE-∠B=∠M+∠CFE
∵1/2∠BAG+1/2∠BAC=1/2(BAG+∠BAC)=1/2×180°=90°
∴∠M+∠CFE=90°