Question

已知函数f(x)对一切实数X,Y都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0

当0<x<2时不等式f(x)>ax－5恒成立，求a的取值范围

Answer 1

解:
由f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1),且f(1)=0
令y=1, 则f（x+1）-f（1）=x（x+2+1）
即f（x+1）-0=x^2+3x
即f（x+1）=x^2+3x
则f（x）=f（（x-1）+1）=（x-1）^2+3(x-1)=x^2+x-2

又由当0<x<2时，不等式fx>ax-5恒成立，
即当0<x<2时，不等式x^2+x-2>ax-5恒成立，
即当0<x<2时，不等式x^2+3>（a-1）x恒成立
即当0<x<2时，不等式（a-1）x＜x^2+3恒成立
即当0<x<2时，不等式（a-1）＜（x^2+3）/x恒成立
设y=（x^2+3）/x=x+3/x （0<x<2）
该函数在（0，√3）是减函数
在（√3，2）是增函数
故当x=√3时，y=x+3/x有最小值2√3
即a-1＜2√3
即a＜2√3+1.

Answer 2

解:(1)令x=-1，y=1，则由已知f(0)-f(1)=-1(-1+2+1)
∴f(0)=-2
(2)令y=0，则f(x)-f(0)=x(x+1)
又∵f(0)=-2
∴f(x)=x2+x-2
(3)不等式f(x)+3＜2x+a即x2+x-2+3＜2x+a
也就是x2-x+1＜a.由于当0＜x＜1
2
时，3
4
＜x2-x+1＜1，又x2-x+1=(x-1
2
)2+3
4
＜a恒成立，
故A={a|a≥1}，g(x)=x2+x-2-ax=x2+(1-a)x-2
对称轴x=a-1
2
，
又g(x)在[-2，2]上是单调函数，故有a-1
2
≤-2，或a-1
2
≥2，
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，CRB={a|-3＜a＜5}
∴A∩CRB={a|1≤a＜5}.

Answer 3

令x=1 y=0 ，代入f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x可得f（0）=-2，f（1）=0

令y=-x，代入f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x可得f（-x）=-2-x+x^2,故fx=x^2+x-2
代入不等式x^2+(1-a)x+3＞0，只要判别式＜0即可，所以（1-a）^2-12＜0；；1-2根号3＜a＜1+2根号3

追问

判别式为a的平方－2a－11,怎么说它<0啊?，<0又怎样???

追答

x^2+(1-a)x+3＞0，只要判别式＜0。。。

这是二次函数图像的问题：二次项系数大于0，方程x^2+(1-a)x+3=0的判别式小于0表示图像与y轴没有交点加上开口向上，自然图像始终在x轴上方也就满足了x^2+(1-a)x+3＞0，
别告诉我判别式你不会吧

追问

对哦，不好意思，没反应过来