Question

整数p,q满足p+q=2010，且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数，

整数p,q满足p+q=2010，且关于x的一元二次方程67x^2+px+q=0的两个根均为正整数，则p=？
求详细过程，谢啦！！～

Answer 1

解：用韦达定律来做。
X1*X2=-B/A =p/67
X1+X2=C/A=q/67
得到 X1*X2+X1+X2=（p+q)/67=2010/67 左右两边同时+1
X1*（X2+1）+X2+1=2010/67+1 即 （X1+1）（X2+1）=31=1×31=（-1）*（-31）
所以（X1+1）=1（X2+1）=31 或者（X1+1）=-31（X2+1）=-1
所以方程一个解为30 一个解为0 或者一个解为-32 一个解为-2
把一个解为30 一个解为0带入原来的方程中，得到 60300+30p+q=0 q=0
所以p=-2010（舍去） 不符题意
把一个解为-32 一个解为-2代入原来的方程中，得到68608-32p+q=0 268-2p+q=0
解得 p=-2278 q=4288 。

Answer 2

x1x2=q/67为正整数，q=67k1,k1为正整数，
x1+x2=-p/67为正整数，p=-67k2,k2为正整数
p+q=67(k1-k2)=2010,k1-k2=30.
又因为p^2-4*67是完全平方数,即67^2*k2^2-4*67^2k1是完全平方数
k2^2-4k1是完全平方数
k2^2-4(30+k2)是完全平方数
k2^2-4k2-120是完全平方数
(k2-2)^2-124是完全平方数
令(k2-2)^2-124=k^2,k为非负整数
(k2-2-k)(k2-2+k)=124
(k2-2-k)(k2-2-k+2k)=124=1*124=2*62=4*31
因为k2-2-k和k2-2-k+2k是同奇同偶的
所以k2-2-k=2，k2-2-k+2k=62，解得k=30，k2=34.
p=-67*k2=-67*34=-2278.

Answer 3