Question

估计定积分的范围第4题的第（6）。主要是sinx/x的单调性不会求

Answer 1

0 < ∫[0..π/2] sinx /x dx < π/2

追问

具体的过程呢？用导数还是什么来判断？

追答

以上结论是根据定积分的几何意义判断的，被积函数 y=sinx/x 在积分区间 (0..π/2] 上围成的图形位于宽度为 π/2 高度为 1 的长方形内部，其面积必在 0 与 π/2 之间。

也可以根据定积分的性质来判断，给出更强的估值范围。

被积函数 y=sinx/x 在积分区间 (0..π/2] 上是单调递减的，于是有最小值 m=sin(π/2)/(π/2)=2/π，上界为 M=(x-->0)limsinx/x=1，根据定积分的性质

1 ≤ ∫ [0..π/2]sinx/x dx≤ π/2

追问

那条性质我知道，但我想知道具体怎么证得sinx/x递减？

追答

y=sinx/x
y'=(xcosx-sinx)/x²=cosx(x-tanx)/x²
在 (0,π/2), 0<cosx<1, x<tanx, cosx(x-tanx)<0
y'<0, y 递减
在 (π/2,π), -1<cosx<0, tanx<0<x, cosx(x-tanx)<0
y'<0, y 递减
因此 y = sinx/x 在 (0,π) 内递减

追问

猴，谢谢你的耐心回答