Question

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞0，bc≠0）， ，F(x)= f(x) x＞0 -f(x) x＜0.

已知函数f（x）=ax 2 +bx+c（a＞0，bc≠0）， ，F(x)= f(x) x＞0 -f(x) x＜0. （Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，试求k的取值范围；（Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为m，且 0＜m≤2，试确定c-b的符号．

Answer 1

（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且 - b 2a =-1 ． 解得a=1，b=2， ∴f（x）=（x+1） 2 ，∴ F(x)= (x+1 ) 2 (x＞0) -(x+1 ) 2 (x＜0) ， ∴F（2）+F（-2）=（2+1） 2 +[-（-2+1） 2 ]=8． （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]恒成立，即x 2 +x+1-k＞0在区间[-3，-1]恒成立， 从而k＜x 2 +x+1在区间[-3，-1]上恒成立， 令函数p（x）=x 2 +x+1， 则函数p（x）=x 2 +x+1在区间[-3，-1]上是减函数，且其最小值p（x） min =p（-1）=1， ∴k的取值范围为（-∞，1） （Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0， ∵a＞0∴b=-2a＜0， 设方程f（x）=0的两根为x 1 ，x 2 ，则 x 1 + x 2 =- b a =2 ， x 1 x 2 = c a ， ∴ m=| x 1 - x 2 |= ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x   2 = 4- 4c a ， ∵0＜m≤2，∴ 0＜ 4- 4c a ≤1 ，∴ 0≤ c a ＜1 ， ∵a＞0且bc≠0，∴c＞0， ∴c-b＞0