已知函数f(x)=ax 2 +bx+c(a>0,bc≠0), ,F(x)= f(x) x>0 -f(x) x<0.
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,bc≠0),,F(x)=f(x)x>0-f(x)x<0.(Ⅰ)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且f(0)=1,求F(2...
已知函数f(x)=ax 2 +bx+c(a>0,bc≠0), ,F(x)= f(x) x>0 -f(x) x<0. (Ⅰ)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且f(0)=1,求F(2)+F(-2)的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]恒成立,试求k的取值范围;(Ⅲ)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x轴上截得的弦的长度为m,且 0<m≤2,试确定c-b的符号.
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(Ⅰ)由已知c=1,a-b+c=0,且 -
解得a=1,b=2, ∴f(x)=(x+1) 2 ,∴ F(x)=
∴F(2)+F(-2)=(2+1) 2 +[-(-2+1) 2 ]=8. (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]恒成立,即x 2 +x+1-k>0在区间[-3,-1]恒成立, 从而k<x 2 +x+1在区间[-3,-1]上恒成立, 令函数p(x)=x 2 +x+1, 则函数p(x)=x 2 +x+1在区间[-3,-1]上是减函数,且其最小值p(x) min =p(-1)=1, ∴k的取值范围为(-∞,1) (Ⅲ)由g(1)=0,得2a+b=0, ∵a>0∴b=-2a<0, 设方程f(x)=0的两根为x 1 ,x 2 ,则 x 1 + x 2 =-
∴ m=| x 1 - x 2 |=
∵0<m≤2,∴ 0<
∵a>0且bc≠0,∴c>0, ∴c-b>0 |
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