Question

考研 数学 概率论 一个问题？

2015版李永乐《复习全书》p519例6.6的问题
X1，X2，X3相互独立且服从正态分布N（0，σ^2),Y1=X2+X3，Y2=X2-X3，然后书上证明了Cov（Y1，Y2）=0，接着就说Y1，Y2独立。可是按理说Y1，Y2都是服从一维正态分布，Cov（Y1，Y2）=0只能说明Y1，Y2不相关，不能推出Y1，Y2独立的啊？谢谢 ！

另外：书上有

谢谢 ！

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Answer 1

D（x）=E(x^2)-[E(x)]^2.
cov（x，y）=0，则x与y相互独立。其实原定义应该是E（XY）=E（X）*E（Y）。不过结论是一样的。（仅对正态分布而言）
相关系数为0不代表相互独立，只是不相关。不相关是指没有线性关系，但不代表没有其它关系。对于二维正态分布来说不相关与独立性是等价的。但是对于其它分布，是不等价的。
Y1与Y2是一维正态分布但是他们的联合分布是二维正态分布，所以Y1与Y2，若不相关则相互独立。

追问

你说的这个我知道，但是“ Y1与Y2是一维正态分布但是他们的联合分布是二维正态分布 ”？？？？

追答

怎么，反正Y1与Y2是一维正态分布，那么它们不相关和相互独立是一样的。因为它们是相互独立的一维正态分布的线性组合。

追问

你看我发的你二个图片了没有，那是在“二维正太分布”条件下才成立？

我已经知道为什么了，关键就在于证明Y1Y2满足“二维正态分布”。

追答

没看见我给你发的后面的线性组合吗？

追问

所以我问你为什么“ Y1与Y2是一维正态分布但是他们的联合分布是二维正态分布 ”？？？？ ”

追答

因为它们是相互独立的一维正态分布的线性组合,所以它们的联合分布是二维正态分布。你没有见过这个结论吗？

追问

其实你最后“这句话才是我要的”，我主要没有看清那个定理“服从正太分布，且 相互独立”就满足二维正态分布，我把这条定理和“即使服从正太分布，且相关系数为0也不一定服从 二维正态分布””弄混了。谢谢！

追答

。。。。。前面看你打了那么多红线不知道你想要知道什么，我回答的有问题。

追问

是啊，我的错，我还画了红线了，谢谢你！